Пусть функция y=f(x) задана на некотором интервале (а; b). Возьмем произвольную точку х0  (а; b) и дадим ей произвольное приращения аргумента Δх (число Δх может быть как положительном так и отрицательным), но таково, чтобы точки х0 и х0+Δх принадлежали интервалу (а; b). Тогда значение функции f(x) в точке х0+Δх будет равным f(х0+Δх).

Определение. Выражение Δy=f(х0+Δх)– f(х0) называется приращением функции f(x) в точке х0.

Определение. Если существует граница отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, при условии, что Δx стремится к нулю, то эта граница называется производной функции f(x) в точке х0

.

Производная обозначается .

Таблица производных

Производная функции в данной точке равняется тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке f '(x₀)=tg α=k.

Уравнение касательной к функции f(х) в точке х0 записывается так: y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀). Это уравнение можно представить в виде y=kx+b .

Когда задана функция пути S=S(t) то первая производная от нее по времени даст функцию скорости S_t'(t)= v(t) .

Производная от функции скорости по времени даст функцию ускорения v_t'(t)= а(t) .

Вторая производная от пути по времени равна ускорению тела в данный момент времени S_t''(t)= а(t) .

Производную можно использовать и для других физических величин, которые характеризуют скорость прохождения определенных процессов. Так сила тока характеризует скорость прохождения заряда I=Δq/Δt. Поэтому можно сказать, что функция силы тока будет производной по времени от функции заряда I=q_t'.

Если u, v - дифференцируемые функции, С - постоянная,
то правила дифференцирования записываются так (см. справа):

Пусть заданы функции y=f(t) и t=g(x) . Теперь подставим вторую функцию в первую.

Определение. Функция y=h(x)=f(g(x)) называется составной функцией (суперпозицией или композицией) функций относительно функций f и g.

Например, y=Sin²x – составная функция, потому что она является суперпозицией функций y=u²; и u=Sin x.

Формула для нахождения производной составной функции записывается так: (f(g(x))) '=f '(g(x))·g'(x).

Определение. Дифференциал – главная, линeйная часть приращения функции. Обозначается dy (см. рисунок).

Если значение функции f в точке x вычислить сложно, но существует "очень близкая" к ней точка x₀=x-Δx, в которой значение этой функции легко вычисляется, то для нахождения приближенного значения функции f в точке x используют формулу приближенных вычислений f(x)≈f(x₀)+f '(x₀)Δx.