Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Дроби. Операции с дробями

Вычислите значение выражения Операция



Числа



=

Обыкновенные дроби следует записывать в формате целая часть_числитель/знаменатель . Например дробь 1~2/3 нужно записать 1_2/3


Это динамический рисунок GeoGebra.
Красные элементы можно изменять

Обычные дроби
Дробь

Определение. Дробью называется число, представленное как результат операции деления.

Обычные дроби

Определение. Обычной дробью называется число вида {m}/{n}, где: m - целое, n - натуральное.

Определение. Числителем называется число или выражение, которое стоит над чертой дроби.

Определение. Знаменателем называется число или выражение, которое стоит под чертой дроби.

Целое число можно представить обычной дробью со знаменателем 1.

Знаменатель указывает, на сколько равных частей было разделено что-то целое, а числитель указывает сколько таких частей было взято.

Дробь {2}/{3} читается «Две третьих» или «две трети».

Правильные и неправильные дроби

Определение. Если в обычной дроби числитель менше знаменателя то дробь называется правильной.

Например: {4}/{5} .

Определение. Если в обычной дроби числитель больше знаменателя то дробь называется неправильной.

Например: {7}/{4}.

Неправильные дроби представляют в виде мешаных чисел.

Для того чтобы превратить неправильную дробь в мешаное число, нужно числитель разделить на знаменателя и отдельно записать целую часть, а остаток записать в числителе дробной части.

Например {7}/{4}=1~{3}/{4}. Читается «одна целая три четвертых».

Определение. Если в обычной дроби числитель равний знаменателю то дробь можно заменить единицей. И наоборот единицу можно заменить дробью в которого числитель и знаменатель равные.

Наибольший общий делитель (НОД) и Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называется наибольшее из чисел, на которое делятся нацело оба этих числа.

Например числа 12 и 16 делятся и на 2 и на 4, но наибольшим общим делителем этих чисел является число 4.

Определение. Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел называется наименьшее из чисел, которое делится нацело на оба этих числа.

Например и число 96, и число 48 делятся нацело на 12 и 16, но наименьшим общим кратным этих чисел есть число 48.

Взаимо обращенные дроби

Определение. Две дроби называются обычно обращенными, если числитель первой дроби равняется знаменателю второй и наоборот.

Например дроби {5}/{11} и {11}/{5} являются взаимно обратными дробями.

Операции с обычными дробями
Расширение дроби

Значение дроби не изменяется, если его числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличающееся от нуля.

Пример: {2}/{3}={2*4}/{3*4}={8}/{12}

Сложение (вычитание) дробей

Определение. Суммой (разницей) двух дробей, с общим знменателем есть дробь, числитель которой равняется сумме (разнице) числителей, а знаменатель равняется общему знаменателю слагаемых.

Чтобы прибавить (отнять) две дроби, нужно:

1. если дроби имеют разные знаменатели - привести их к общему знаменателю;

2. сложить (отнять) числители дробей и результат записать в числитель;

3. знаменателем записать их общий знаменатель.

Пример: 3/7+2/7={3+2}/{7}=5/7; ~~~3/7-2/7={3-2}/{7}=1/7.

Упрощение дроби

Значение дроби не изменяется, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, отличающееся от нуля.

Пример: {12}/{16}={12:2}/{16:2}={6}/{8}

Сокращение дроби

Определение. Сокращением дроби называется упрощение дроби на НОД числителя и знаменателя.

Пример: {12}/{16}={12:4}/{16:4}={3}/{4}

Определение. Дробь называется несократимой, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равняется единице.

Умножение дробей

Определение. Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равняется произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Чтобы умножить две дроби, нужно:

1. умножить числители и результат записать в числитель;

2. умножить знаменатели и результат записать в знаменатель.

Пример: {{1}/{3}}*{{4}/{5}}={1*4}/{3*5}=4/15

Приведение дробей к общему знаменателю

Определение. Общим знаменателем двух дробей называется НОК их знаменателей.

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

1. найти НОК двух знаменателей;

2. найти дополнительные множители дробей, разделив найденное НОК на каждый из знаменателей;

3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби (расширить дроби) на полученные дополнительные множители.

Пример: {1}/{4}~i~{5}/{6};~right~HOK=12;~right{1*3}/{12}~i~{5*2}/{12};~right~3/12~i~10/12.

Деление дробей

Определение. Частицей двух дробей есть произведение первой дроби на обращенную вторую.

Чтобы разделить две дроби, нужно:

1. вторую дробь заменить обращенной к ней (во второй дроби поменять местами числитель и знаменатель);

2. умножить полученные дроби.

Пример: {1}/{3}:~{4}/{5}={1/3}*{5/4}=5/12

Сравнение обычных дробей

Из двух дробей с одинаковым знаменателем большей является та, в которой больший числитель

Пример: 5/7>3/7

Из двух дробей с одинаковым числителем большей является та, в которой меньший знаменатель.

Пример: 5/7>5/9
Десятичные дроби

Рис. Разряды десятичной дроби

Определение. Десятичной дробью называется способ представления чисел в виде последовательности цифр разделенных запятой (в некоторых странах точкой) (Калькуляторы FIZMA.neT также используют точку).

Записанная десятичная дробь читается в соответствии со схемой, которая подана на рисунке.

Например дробь 12,345 читается "двенадцать целых триста сорок пять тысячних".

В начало целой части и/или в конец дробной части можно дописывать сколько угодно нулей.

Пример: 00012,43500.

Конечные десятичные дроби

Определение. Конечной десятичной дробью называется дробь, которая содержит конечное количество цифр после запятой. Пример: 12,435.

Бесконечные десятичные дроби

Определение. Бесконечной десятичной дробью называется дробь, которая не содержит конечное количество цифр после запятой. Пример: 12,435...

Бесконечные периодические десятичные дроби

Определение. Бесконечной периодической десятичной дробью (периодической дробью) называется бесконечная дробь, которая в конце содержит группу цифр, которые повторяются. Пример: 12,43565656...

Определение. Периодом бесконечной периодической десятичной дроби называется группа цифр, которые повторяются. В предыдущем примере это 56.

Определение. Периодическая десятичная дробь называется чистой периодической дробью, если ее период начинается сразу после запятой, а период может содержать любое конечное число цифр. Пример: 12,434343....

Определение. Периодическая десятичная дробь называется смешанной, если периодическая десятичная дробь содержит еще число, помещенное между целой частью и периодом. Число периодической дроби, которая стоит между целой частью и периодом, называется предпериодом этой дроби. Пример: 12,89434343...

Бесконечные непериодические десятичные дроби

Определение. Бесконечной непериодической десятичной дробью называется бесконечная дробь, которая в конце не содержит группу цифр, которые повторяются. Пример: 12,435...89...

Преобразование дробей
Обычные -> Десятичные

Чтобы обычную дробь преобразовать в десятичную, нужно выполнить операцию деление (например, на калькуляторе, или в столбик).
Пример: 8/5=1,6.

При этом может получиться бесконечная периодическая дробь.
Пример: 1/3=0,333....

Десятичные -> Обычные

Чтобы десятичную дробь превратить в обычную, нужно ее записать в обычном представлении и по возможности выполнить сокращение.

Пример: 0,24=24/100=6/25.


Hosting Ukraine