Математика онлайн

FIZMA.neT - математика онлайн

Главная

Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків

Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Первообразная. Интеграл

Онлайн-розрахунки				Графическое представление
Вычислите определенный интеграл используя формулу Ньютона-Лейбница. (Не все интегралы можно вычислить) Здесь можно найти первоначальные только от степенной функции, функций Sin x и Cos x.
	x	dx= x	= - = .
Заметьте, что мы вычисляем определенный интеграл, а не площадь фигуры ограниченной линиями. Это разные задачи. Площадь является неотъемлемым числом. Задачи будут одинаковыми только в случае, когда заданная функция непрерывной и положительной на указанном промежутке.

Понятие первообразной Wikipedia

Таблица первообразных

Определение. Функция F(x) на заданном промежутке называется первообразной для функции f(x) , для всех x из этого промежутка, если F'(x)=f(x).

Операция нахождение первообразной для функции называется интегрированием. Она является обратной к операции дифференцирования.

Теорема. Всякая непрерывная на промежутке функция (x) имеет первообразную на этом же промежутке.

Теорема (основное свойство первообразной). Если на некотором промежутке функция F(x) является первообразной для функции f(x), то на этом промежутке первообразной для f(x) будет также функция F(x)+C, где C произвольная постоянная.

Из этой теоремы выплывает, что когда f(x) имеет на заданном промежутке первообразную функцию F(x) , то этих первобытных множество. Придавая C произвольных числовых значений, каждый раз будем получать первообразную функцию.

Для нахождения первообразных пользуются таблицей первообразных. Она получается из таблицы производных.

Неопределенный интеграл Wikipedia

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается int{}{}{f(x) dx} .

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x) dx - подынтегральным выражением.

Следовательно, если F(x) , является первообразной для f(x) , то int{}{}{f(x) d x}=F(x)+C .

Свойства неопределенного интеграла

Определенный интеграл Wikipedia

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции f(x) , отрезком [а; b], и прямыми x=a и x=b.

Полученная фигура называется криволинейной трапецией. Вычислим ее площадь.

Для этого разобьем отрезок [а; b] на n равных отрезков. Длины каждого из отрезков равняются Δx.

Это динамический рисунок GeoGebra.
Красные элементы можно изменять

Рис. 1. Понятие определенное интеграла

На каждом отрезке, построим прямоугольники с высотами f(x_k-1) (Рис. 1).

Площадь каждого такого прямоугольника равняется S_k = f(x_k-1)Δx_k.

Площадь всех таких прямоугольников равняется .

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f(x) .

Если n→∞ то площадь построенной таким образом фигуры будет все менее отличаться от площади криволинейной трапеции.

Определение. Граница интегральной суммы, когда n→∞ называется определенным интегралом, и записывается так :.

читается: "интеграл от a к b f от xdx"

Число а называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок [а; b] – промежутком интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом формулой Ньютона-Лейбница

int{a}{b}{f(x)dx}=delim{}{F(x)}{|} matrix {2}{1}{b a}=F(b)-F(a) .

Использование интеграла

Интегральное исчисление широко используется при решении разнообразных практических задач. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление площади криволинейной трапеции

Пусть задана на плоскости некоторая фигура ограниченная линиями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x) . (Рис. 2). Тогда ее площадь будет рассчитываться интегрированиям разницы между верхней и нижней функцией на данном промежутке

Вычисление объемов тел

Пусть задана функция, которая задает площадь поперечного сечения тела в зависимости от некоторой переменной S = s(x), x[а; b]. Тогда объем данного тела можно найти интегрируя данную функцию в соответствующих пределах.
Если нам задано тело, которое получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции ограниченной некоторой функцией f(x), x [а; b]. (Рис. 3). То площади поперечных сечений можно вычислить по известной формуле S = π f ²(x). Поэтому формула объема такого тела вращения	$V= pi int{a}{b}{f^2(x)dx}$
Аналогично для оси Oy, y[c; d]	$V= pi int{c}{d}{f^2(y)dy}$

Рис.2. Криволинейная трапеция на плоскости

Рис. 3. Пример тела вращения

Механический и экономический смысл интеграла

Расстояние, которое пройдет тело что двигается прямолинейно и изменяет свою скорость по закону v = v(t) за промежуток времени (t₀; t₁) можно найти за формулой	$S= int{t_1}{t_2}{v(t)dt}$
Если задана зависимость производительности труда от времени А(t) , тогда определенным интегралом от данной функции будет количество продукции изготовленной за промежуток времени (t₀; t₁).	$S= int{t_1}{t_2}{A(t)dt}$

При использовании неопределенного интеграла мы будем получать функцию, а при использовании определенного – значение определенной величины.

Понятие дифференциального уравнения

Определение. Уравнение, которое содержит неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.

Например уравнение yy'+x=0.