Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Геометричні тіла у просторі

Многогранні кути

Рис. 3. Многогранний кут

Рис. 2. Тригранний кут

Рис. 1. Двогранний кут

Означення. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує (Рис. 1).

Півплощини називаються гранями, а пряма, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих.

Означення. Кут, утворений півпрямими, які утворюються при перетині граней двогранного кута перпендикулярною до них площиною, називається лінійним кутом двогранного кута.

За міру двогранного кута приймають міру відповідного йому лінійного кута.

Усі лінійні кути двогранного кута суміщаються паралель ним перенесенням, а отже, вони рівні. Тому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.

Означення. Тригранним кутом (abc) називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів (ab), (bc) і (ас) (Рис. 2).

Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони - ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно дають означення поняття многогранного кута як фігури, складеної з плоских кутів Для многогранного кута означення понять граней, ребер і двогранних кутів такі самі, як і для тригранного кута. (Рис. 3)

Многогранники

Рис. 5. Увігнутий многогранник

Рис. 4. Опуклий многогранник

Означення. Многогранником називається тіло, поверхня якого складається із скінченої кількості плоских многокутників (Рис. 4, 5).

Означення. Многогранник називається опуклим, якщо він розміщений по один бік від площини кожного плоского многокутника на його поверхні (Рис. 4).

Означення. Спільна частина такої площини і поверхні опуклого многогранника називається гранню.

Грані опуклого многогранника є опуклими многокутниками.

Означення. Сторони граней многогранника називаються ребрами, а вершини - вершинами многогранника
Правильні многогранники

Рис. 10. Ікосаедр

Рис. 9. Додекаедр

Рис. 8. Октаедр

Рис. 7. Куб

Рис. 6. Правильний
тетраедр

Означення. Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією ж кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одна й та ж кількість ребер.

Існує п'ять типів правильних опуклих многогранників
(Рис. 6-10):

Призма

Рис. 11. Призма

Означення. Призмою називається многогранник, який складається з двох рівних многокутників, які суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників. (Рис. 11).

Означення. Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, - бічними ребрами призми.

Основи призми лежать у паралельних площинах. Бічні ребра призми паралельні й рівні. Бічні грані призми є паралелограмами.


Рис. 12. Діагональ призми
та діагональний
переріз призми

Означення. Висотою призми називається відстань між площинами її основ.

Означення. Відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми.

Означення. Діагональним перерізом призми називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані. (Рис. 12).

Означення. Бічною поверхнею призми (точніше площею бічної поверхні) називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.

Пряма призма

Рис. 14. Правильна призма

Рис. 13. Пряма призма

Означення. Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ.

У іншому випадку призма називається похилою. (Рис. 13).

Правильна призма
Означення. Пряма призма називається правильною, якщо її основами є правильні многокутники. (Рис. 14).
Паралелепіпед

Рис. 14. Паралелепіпеди

Означення. Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом (Рис. 14).

У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

Означення. Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.

Теорема. У паралелепіпеді протилежні грані паралельні й рівні.

Теорема. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться пополам (Рис. 14).

Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

Прямокутний паралелепіпед

Означення. Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

У прямокутному паралелепіпеді всі грані - прямокутники.

Означення. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами, або вимірами.

У прямокутного паралелепіпеда три лінійні розміри.

Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних розмірів.

Куб
Означення. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Піраміда

Рис. 16. Перетин піраміди
площиною, яка паралельна
до основи

Рис. 15. Піраміда

Означення. Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника - основи піраміди, точки, що не лежить у площині основи, - вершини піраміди та усіх відрізків, які сполучають вершину з точками основи. (Рис. 15).

Означення. Відрізки, які сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань – трикутник. Одна з його вершин – вершина піраміди, а протилежна сторона - сторона основи піраміди.

Означення. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Означення. Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник.

Означення. Трикутна піраміда називається тетраедром


Рис. 17. Правильна n-кутна піраміда,
висота піраміди та її апофема

Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду. (Рис. 16).

Правильна піраміда

Означення. Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника (Рис. 17).

Означення. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту (Рис. 17).

Очевидно, у правильної піраміди бічні ребра рівні, отже, бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Означення. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою (Рис. 17).

Означення. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Зрізана піраміда

Рис. 18. Зрізана піраміда

Означення. Частина піраміди, яка утворюється шляхом відтинання деякої частини площиною, яка паралельна площині основи називається зрізаною пірамідою (Рис. 8.18).

Означення. Грані зрізаної піраміди, які лежать у паралельних площинах називаються основами піраміди; решта граней називаються бічними гранями.

Основи зрізаної піраміди - подібні (більше того - гомотетичні) многокутники, бічні грані - трапеції.

Означення. Зрізана піраміда, яку дістають з правильної піраміди, також називається правильною.

Бічні грані правильної зрізаної піраміди - рівні рівнобічні трапеції

Означення. Висоти бічних граней правильної зрізаної піраміди називаються апофемами.

Тіла обертання
Циліндр

Рис. 19. Циліндр

Означення. Циліндром називається тіло, яке складається з двох кругів, які суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. (Рис. 19).

Означення. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають відповідні точки кіл кругів, - твірними циліндра.

Основи циліндра рівні і лежать у паралельних площинах. Твірні циліндра паралельні і рівні. Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня складається з твірних.

Прямий циліндр

Означення. Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ.

Далі розглядатимемо тільки прямий циліндр, називаючи його просто циліндром. Прямий циліндр можна розглядати як тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони як осі (Рис. 20).



Рис. 23. Перетин
циліндра площиною
перпендикулярною до осі


Рис. 22. Площина
дотична до циліндра

Рис. 21. Осьовий
переріз циліндра

Рис. 20. Циліндр
як тіло обертання

Означення. Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Означення. Висотою циліндра називається відстань між площинами основ.

Означення. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

Означення. Переріз циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра, називається осьовим перерізом. (Рис. 21).

Означення. Площина, яка проходить через твірну прямого циліндра перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю твірну, називається площиною, дотичною до циліндра (Рис. 22).


Рис. 25. Призма
описана навколо циліндра

Рис. 24. Призма
вписана в циліндр

Теорема. Площина, перпендикулярна до осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи (Рис. 23).

Вписана та описана призми

Означення. Призмою, вписаною у циліндр, називається призма, основи якої - рівні многокутники, вписані в основи циліндра (Рис. 24).

ЇЇ бічні ребра є твірними циліндра.

Означення. Призма називається описаною навколо циліндра, якщо її основи - рівні многокутники, описані навколо основ циліндра (Рис. 25).

Площини її граней дотикаються до бічної поверхні циліндра.

Конус


Рис. 28. Площина
дотична до конуса

Рис. 27. Осьовий
переріз конуса

Рис. 26. Конус

Означення. Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга - основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, - вершини конуса та всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи (Рис. 26).

Означення. Відрізки, які сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса.

Поверхня конуса складається з основи і бічної поверхні.

Означення. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь, називається осьовим перерізом (Рис. 27).

Означення. Площина, яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю твірну, називається площиною, дотичною до конуса (Рис. 28).

Прямий конус

Рис. 30. Перетин
конуса площиною, яка
перепендикулярна до осі

Рис. 29. Конус,
як тіло обертання

Означення. Конус називається прямим, якщо пряма, яка сполучає вершину конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи.

Далі розглядатимемо тільки прямий конус, називаючи його просто конусом. Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо його катета як осі. (Рис. 29).

Означення. Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи.

У прямому конусі основа висоти збігається з центром основи.

Означення. Віссю прямого конуса називається пряма, яка містить його висоту.

Теорема. Площина, перпендикулярна до осі прямого конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню - по колу, центр якого лежить на осі конуса. (Рис. 30).


Рис. 31. Зрізаний конус

Площина, перпендикулярна до осі конуса, відтинає від нього менший прямий конус.

Зрізаний конус
Означення. Частина конуса, що лишилася після відтинання від конуса частини площиною, яка перпендикулярна до його осі називається зрізаним конусом. (Рис. 31).
Вписана та описана піраміди

Рис. 33. Піраміда
описана навколо конуса

Рис. 32. Піраміда
вписана в конус

Означення. Пірамідою, вписаною у конус, називається піраміда, основою якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною - вершина конуса (Рис. 32).

Бічні ребра піраміди, вписаної у конус, є твірними конуса.

Означення. Піраміда називається описаною навколо конуса, якщо її основою є многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса (Рис. 33).

Площини бічних граней описаної піраміди є площинами, дотичними до конуса.

Куля



Рис. 35. Переріз кулі площиною

Рис. 34. Куля та її елементи

Означення. Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану (Рис. 34).

Означення. Відрізок, який сполучає центр кулі з будь-якою точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Означення. Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром.

Означення. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Куля, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона може бути утворена обертанням півкруга навколо його діаметра як осі.

Теорема. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. (Рис. 35).


Рис. 37. Площина,
дотична до кулі

Рис. 36. Діаметральна площина

Радіус круга r, який матимемо у перерізі кулі площиною, можна обчислити за формулою: , де: R – радіус кулі, h – відстань від центра кулі до площини.

Звідси видно, що площини, рівновіддалені від центра, перетинають кулю по рівних кругах. Круг у перерізі площиною буде тим більшим, чим ближче площина лежить до центра кулі.

Означення. Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною (Рис. 36).

Означення. Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом, а переріз сфери - великим колом.

Теорема. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії.

Теорема. Дотична площина має з кулею лише одну спільну точку - точку дотику (Рис. 37).

Означення. Пряма, яка проходить через точку кульової поверхні й перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною.

Теорема. Через будь-яку точку кульової поверхні проходить безліч дотичних, і всі вони лежать у площині, дотичній до кулі.

Частини кулі

Рис. 39. Кульовий сектор

Рис. 38. Кульовий сегмент
та кульовий шар

Означення. Кульовим сегментом називається частина кулі, яку відтинає від неї площина (Рис. 38).

Означення. Кульовим шаром називається частина кулі, яка міститься між двома паралельними площинами, що перетинають кулю. (рис 38).

Означення. Кульовим сектором називається тіло, яке утворюється з кульового сегмента й конуса так: якщо кульовий сегмент менший за півкулю, то кульовий сегмент доповнюють конусом, вершина якого лежить у центрі кулі, а основою є основа сегмента: якщо ж сегмент більший від півкулі, то зазначений конус з нього вилучається (Рис. 39).

Сфера

Означення. Сферою називається поверхня, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, яка рівна даній.


Hosting Ukraine