Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Треугольник и его элементы

Десяткові дроби Онлайн-розрахунки Графическое
представление
Графічне представлення задачі
Известны некоторые элементы треугольника. Заполните поля, которые можно вычислить.




Стороны
a = ;
b = ;
c = ;
Углы
alpha = ° ;
beta = ° ;
gamma = ° ;
Высоты
ha = ;
hb = ;
hc = ;
Бисектрисы
la = ;
lb = ;
lc = ;
Медианы
ma = ;
mb = ;
mc = ;

S = ;
P = ;
p = ;

Радиусы
r = ;

R = ;

Треугольник Wikipedia
Это динамический рисунок GeoGebra.
Красные элементы можно изменять

Треугольник и его элементы

Рис. 2. Тупоугольный трикутник

Рис. 1. Остроугольный треугольник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки. (Рис. 1). Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равняется 180°.

Теорема. Внешний угол треугольника равняется сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Определение. Если один из углов треугольника является тупым, то треугольник называется тупоугольным. (Рис. 1)

Определение. Если все углы треугольника являются острыми, то треугольник называется остроугольным. (Рис. 2)

Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равняется сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
c^2=a^2+b^2-2abCos gamma

Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны к синусам противоположных углов.
{a}/{Sin alpha}={b}/{Sin beta}={c}/{Sin gamma}

Высота треугольника

Рис. 4. Биссектрисы треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник

Рис. 3. Высоты треугольника
Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный с этой вершины к прямой, что содержит противоположную сторону треугольника.

Длину высоты треугольника, которая проведена к стороне a, можно найти за формулой: h_a={2S}/{a}.

Биссектриса треугольника
Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной его вершины, называется отрезок биссектрис угла треугольника, который соединяет эту вершину с точкой на противоположной стороне.

Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке в середине треугольника, эта точка есть центром вписанной окружности.

Длину биссектрисы треугольника, которая проведена к стороне a, можно найти за формулой .

Медиана треугольника

Рис. 5. Медианы треугольника
Определение. Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, что соединяет эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

Три медианы пересекаются в одной точке в середине треугольника. Эта точка есть центром тяжести треугольника. Она делит каждую медиану в отношении 2:1 (от вершины).

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники с ровными площадями).

Три медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Длину медианы треугольника, которая проведена к стороне a, можно найти за формулой

.

Формулы для вычисления площади треугольника
формула Герона;~~~~~~~~~~~~~S=abSin gamma;~~~~~~~~~~~~~~p={1}/{2}a h_a.
Равность треугольников

Определение. Треугольники (фигуры) называются равными, если в них соответствующие стороны и углы равны.

Признаки равенства треугольников.

Теорема. Первый признак равенства треугольников (признак равенства треугольников за двумя сторонами и углом между ними).
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равные.

Теорема. Второй признак равенства треугольников (признак равенства треугольников за стороной и прилегающими углами).
Если сторона и прилегающие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилегающим к ней углам второго треугольника, то такие треугольники равные.

Теорема. Третий признак равенства треугольников (признак равенства треугольников за тремя сторонами).
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники равные.

Подобие треугольников

Определение. Треугольники (фигуры) называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Теорема (Признаки подобия треугольников) . Два треугольника подобные:

- если два угла одного соответственно равны двум углам второго;


Рис. 6. Срединные перпендикуляры.
Окружность, описанная вокруг треугольника

- если две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго и углы, образованные этими сторонами, равны;

- если три стороны одного пропорциональны сторонам второго.

Вписанная и описанная окружность

Точка пересечению биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности. Рис. 4.

Радиус окружности вписанной в треугольник вычисляется по формуле r={2S}/{a+b+c}.

Точка пересечению срединных перпендикуляров треугольника являются центром описанной вокруг него окружности. Рис. 6.

Определение. Серединным перпендикуляром называется прямая, которая перпендикулярна к стороне и проходит через ее середину.

Радиус окружности вписанной в треугольник вычисляется по формуле R={abc}/{4S}.

Равнобедренный треугольник


Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти две стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основой треугольника.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основе равны.

Теорема. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основе, является его биссектрисой и высотой.

 

Правильный треугольник

Определение. Треугольник называется правильным (равносторонним) , если у него все стороны равны.

Теорема. В правильном треугольнике все углы равны 60°.


Рис. 8. Правильный треугольник

В правильном треугольнике все медианы являются одновременно биссектрисами и высотами.

 

Прямоугольный треугольник

Определение. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Определение. В прямоугольном треугольнике стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой.


Рис. 9. Прямоугольный треугольник

Теорема (теорема Пифагора) (следствие из теоремы косинусов) . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов c^2=a^2+b^2.

Катет прямоугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, является средней пропорциональной между проекциями катетов на гипотенузу.

Для прямоугольного треугольника ΔABC (<C = 90°) (рис.1) можно записать соотношения, которые называются тригонометрическими функциями: Sin alpha = {a}/{c};~~Cos alpha = {a}/{c};~~tg alpha = {a}/{b};~~ctg alpha = {b}/{a}.
Функции называются синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.
a - противоположный катет;
b - прилегающий катет;
c - гипотенуза
.


Hosting Ukraine