Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Вектори

Десяткові дроби Онлайн-розрахунки Графічне представлення


Графічне представлення задачі
Є точки A, B, C, D. Виконайте операції над векторами. Заповніть поля, які можна обчислити.




Координати точок
A(;)
B(;)
C(;)
D(;)
Координати векторів
vec{AB}=vec{a}(;)
vec{CD}=vec{b}(;)
Модулі векторів
|vec{a}|=sqrt{~}=;
|vec{b}| = sqrt{~}=
Множення числа на вектор
alpha=;alpha vec{a}(;);
beta=;beta  vec{b}(;);
Додавання (віднімання) векторів
vec{a}+vec{b}(;)
vec{a}-vec{b}(;)
alpha vec{a}+ beta vec{b}(;)
Скалярний добуток векторів
vec{a}*vec{b}=
Cos varphi=
varphi==º

Поняття вектора Wikipedia
Це динамічний малюнок GeoGebra.
Червоні елементи можна змінювати

Порняття вектора

Означення: Вектор – це напрямлений відрізок.

Вектор має початок та кінець.

Графічно вектори зображаються у вигляді напрямлених відрізків певної довжини.

Напрям вектора задається стрілкою на його кінці.
Позначається вектор або малою латинською буквою зверху зі стрілкою vec{a}, або двома великими буквами зі стрілкою vec{AB}, перша з яких є початком, а друга кінцем вектора.

Означення. Зв'язаним називається вектор, який має чітко визначений початок.

Означення. Вільним називається вектор, початок якого може бути перенесеним у будь-яку точку. Надалі розглядатимемо саме вільні вектори.

Означення: Абсолютною величиною або модулем вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор. Позначається |vec{a}|.

Означення: Два вектори називаються рівними, якщо їх модулі та напрямки є однаковими.
Нехай вектор vec{a} має початком точку , а кінцем - точку .
Означення: Координатами вектора називаються числа a_1=~x_2-~x_1;~a_2=~y_2-~y_1.
Тобто, щоб визначити координати вектора, потрібно від координат кінця вектора відняти координати його початку.

Два вектори є рівними, якщо в них рівні відповідні координати.
Означення: Вектор, у якого початок збігається із його кінцем, називається нуль-вектором vec{0}.
Модуль (довжина) вектора визначається за формулою:

Вектори в просторі

Попередні формули, записані для двох координат, можуть бути поширені на три та більше координат.

Означення. Два вектори називаються колінеарними, якщо вони паралельні одній прямій.

Означення. Три вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні одній площині.


Операції над векторами
Це динамічний малюнок GeoGebra.
Червоні елементи можна змінювати

Операції над векторами

Над вектором можна виконати такі операції:

1. Додавання (віднімання) двох векторів

Означення. Сумою двох векторів та називається вектор vec{c}(a_1+b_1;~a_2+b_2).
Геометрично вектори можна додавати за правилами трикутника або паралелограма.
Означення. Різницею двох векторів та називається вектор vec{c}=vec{a}-vec{b}=(a_1-~b_1;~a_2-~b_2).


2. Множення вектора на число
Означення. Добутком вектора на число alpha називається вектор
alpha vec{a}(alpha a_1;~alpha a_2).
Геометрично це означає збільшення вектора vec{a} у alpha разів.
3. Множення векторів.

Скалярний добуток двох векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів та називається число vec{a} vec{b}= a_1 b_1+a_2 b_2.
Скалярний добуток двох векторів можна обчислити за іншою формулою: vec{a} vec{b}= delim{|}{vec{a}}{|} delim{|}{vec{b}}{|}Cos varphi, де: varphi - кут між цими векторами.
З цієї формули можна отримати формулу для обчислення косинуса кута між векторами: Cos varphi = delim{|}{vec{a}vec{b}}{|}/{delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}}.
Коли вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, і навпаки.
Фізичним змістом скалярного добутку двох векторів є робота сили по переміщенню тіла: A=vec{F} vec{S}.

Операції над векторами у просторі
Попередні формули, записані для двох координат, можуть бути поширені на три та більше координат.
Крім вище описаних операцій, для векторів у просторі можна визначити векторний та змішаний добуток.

Векторний добуток двох векторів

Означення. Векторним добутком двох векторів vec{a} та vec{b} називається вектор vec{c}=[vec{a} vec{b}] для якого:
1. delim{|}{vec{c}}{|} = delim{|}{vec{a}}{|} delim{|}{vec{b}}{|}Cos varphi, де: varphi - кут між векторами;
2. vec{c} ortho vec{a},~~vec{c} ortho vec{b} ;
3. Вектори vec{a},~vec{b},~vec{c}, взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів.

Означення. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.
Властивість : [vec{a} vec{b}] = - [vec{b} vec{a}]
Якщо вектори задані своїми координатами vec{a}(a_1;~a_2;~a_3) та vec{b}(b_1;~b_2;~b_3), то векторний добуток можна обчислити за формулою delim{[}{vec{a}vec{b}}{]}=delim{|}{matrix{3}{3}{vec{i} vec{j} vec{k} a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3}}{|}=( delim{|}{matrix{2}{2}{a_2 a_3 b_2 b_3}}{|};delim{|}{matrix{2}{2}{a_3 a_1 b_3 b_1}}{|};delim{|}{matrix{2}{2}{a_1 a_2 b_1 b_2}}{|}).
Геометричним змістом модуля векторного добутку двох векторів є площа паралелограма, побудованого на цих векторах S=|[vec{a} vec{b}]|.


Змішаний добуток трьох векторів
Означення. Змішаним добутком трьох векторів vec{a},~vec{b},~vec{c} називається скалярний добуток першого вектора на векторний добуток двох останніх (vec{a} vec{b} vec{c}) = vec{a}[vec{b} vec{c}].
Властивості:
1. Попарна перестановка векторів змінює знак змішаного добутку (vec{a} vec{b} vec{c}) = - (vec{b} vec{a} vec{c}) = - (vec{c} vec{b} vec{a}) = - (vec{a} vec{c} vec{b});
2. Циклічна перестановка векторів не змінює знаку змішаного добутку (vec{a} vec{b} vec{c}) = (vec{b} vec{c} vec{a}) = (vec{c} vec{a} vec{b}).
Якщо вектори задані своїми координатами vec{a}(a_1;~a_2;~a_3), vec{b}(b_1;~b_2;~b_3) та vec{c}(c_1;~c_2;~c_3), то змішаний добуток можна обчислити за формулою (vec{a}vec{b}vec{c})=delim{|}{matrix{3}{3}{a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3}}{|}.
Геометричним змістом змішаного добутку трьох векторів є об'єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах V=(vec{a} vec{b} vec{c}).



Hosting Ukraine